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一般位相において位相空間 ''X'' の部分集合 ''S'' の境界（きょうかい、）とは、''S'' の中からも外からも近づくことのできる点の全体の成す ''X'' の部分集合のことである。もうすこし形式的に言えば、''S'' の触点（閉包に属する点）のうち、''S'' の内点（開核に属する点）ではないものの全体の成す集合のことである。''S'' の境界に属する点のことを、''S'' の境界点 と呼ぶ。''S'' が境界を持たない とは、''S'' が自身の境界を包含しないこと、あるいは同じことだが境界点がひとつも ''S'' に属さないことをいう〔原文ではここで「距離の概念からくる非有界集合 (unbounded set) と区別して」という補足を付けているが、日本語では混乱はあるまい。〕。集合 ''S'' の境界を表すのに、bd(''S''), fr(''S''), ∂''S''〔最初のふたつはそれぞれ boundary, frontier の省略形からきている（が、省略の仕方は変えてもいいし省略しなくてもいい）。これ以外の記法としては、松坂では frontier の頭文字を右肩に載せる ''S''''f'' を用いている。内部 (interior) = 開核 (open-kernel) や触集合 (adherence) = 閉包 (closure) あるいは補集合 (complement) などについても同様の記法を使う。閉集合については上付きバーで表すこともあるが、日本の教育数学方言では補集合にバーを使う傾向があり紛らわしい。〕 のような記法がしばしば用いられる。代数的位相幾何学における境界 の概念との区別のため、ここでいう境界に対応する語として "boundary" の代わりに "frontier" を用いることがある（たとえば松坂『集合・位相入門』〔原文では Willard, ''General Topology'' が挙げられている〕）。 集合 ''S'' の境界の連結成分のことを、''S'' の境界成分 という。 == よくある定義 == 位相空間 ''X'' の部分集合 ''S'' の境界について、複数の（しかし互いに同値な）定義の仕方がある。よく用いられるものとしては〔 * ''S'' の閉包から ''S'' の開核を除いたもの * ''S'' の閉包と ''S'' の補集合の閉包との共通部分 * ''X'' の点で ''S'' の内部にも外部にも属さない点ここで外部とは補集合の内部のことである。 * ''X'' の点 ''p'' で、''p'' の任意の近傍が ''S'' に属する点と属さない点をともに少なくともひとつ含むようなもの全体の成す集合。 などである。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「境界 (位相空間論)」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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